「疯子不是没有理性的人，疯子是只剩下理性的人。」——切斯特顿(G. K. Chesterton)

一加一是什么？

1+1是什么？也许没有比这更容易的数学题目了，但是若真要证明这一点，可能需要费些周章。许多看似显而易见的事，往往最难阐明。我们以为自己「当然知道」的事，往往也是最需要深思的事。

好吧，还是先试试容易一点的：1+1=2。你说：我有一个苹果，再拿一个苹果，不就有了两个苹果吗？证明完毕。

但是如果你有一个苹果，再拿一个橘子呢？你仍然只有一个苹果。你可能会说：「没错，但我原来只有一个水果，现在有两个水果了。」那么，如果你有一个苹果，再加上一份苹果派食谱呢？现在你到底有两个什么？

再比如，你有一滴水，再加一滴水，结果仍是一滴水；你若有一个无限大，再加上一个无限大，仍然只是无限大。可能你回说：「不跟你玩了！」

证明1+1=2

上世纪有两位数学家（同时也是哲学家、逻辑学家）——怀特海(Whitehead)和他的学生罗素(Russell)，真的严谨地证明了1+1=2。他们的论文发表在《数学原理》一书中，整整花了三百多页篇幅。

为什么这么难？因为首先需要定义什么是「数字」：到底「1」是什么？「2」是什么？「加」与「等于」又是什么？没有这些严格的定义，就无法证明1+1=2。他们使用「集合论(Set Theory)」的方式来理解数目。例如：「1」定义为「仅包含『空集』的集合」，「2」则是「『仅包含空集的集合』与『空集』所构成的集合」。若读者觉得像绕口令，他们的证明的确就是由这类「口令」组成，长达三百多页。笔者学的是物理学，对「怀特海–罗素的证明」实在是消化不良。

然而，我们知道他们的结论是对的，因为我们本来就知道1+1=2。若他们得出相反的结果，我们就知道这套「口令」是错的。这正是知识论的难题：若不先知道一些真理，就无法判断我们寻找真理的方法是否正确。

数学不可思议的有效性

尤金‧维格纳(Eugene Wigner)是一位美籍匈牙利物理学家，曾在1963年获得诺贝尔物理奖，尤其是因为他对量子力学的数学基础的重大贡献。他在1960年发表了著名文章《数学在自然科学中的不可思议的有效性》，指出：数学这门人类创造的抽象学问，竟然能如此精准地描述自然界现象，实在令人难以理解。

英国物理学家狄拉克(Dirac)、1933年诺贝尔奖得主，曾说：「上帝是一位极高明的数学家，祂在构造宇宙时，运用了高深的数学。」他与爱因斯坦一样，认为一个方程式是否正确，往往可由它是否「美」来判断。这些科学家即使不信上帝，也明白宇宙并非随机偶然，而是在智慧中形成的。

其实，上帝岂止是一位高明的数学家？所有高明的数学家，都是祂所创造的。

数学的限制

伟大的德国数学家希尔伯特(Hilbert)，被誉为「现代数学之父」，曾相信数学能证明一切逻辑真理。他关注数学是否「完全」、是否「自洽」、是否「可判定」。然而，1931 年哥德尔(Gödel)发表「不完备定理」，证明存在无限多的真实数学命题，却无法用数学方法证明，彻底打碎了希尔伯特的梦想。

希尔伯特墓碑上刻着：「我们必须知道，我们将会知道。」但事实是，有些事我们非常想知道，却注定不能知道，因为「我们不过是人」。拉丁谚语说：「我们现在不知道，将来也不会知道。」或许更为贴切。

心中真理的圣灵

我们之所以要用最严谨的数学来证明1+1=2，这并不是因为我们不知道1+1=2，而正是因为我们知道这是如此，但是我们对这「严谨」的数学推理方法是不是可靠，却没有完全的把握。用这推理的方式（学术与逻辑）我们可以证明我们知道是对的，给了我们更多的把握知道，若用这推理所得到的一些其他想象不到的结果也是可靠的。正是因为我们先知道了一些真理，我们才能分辨我们用的「学术」是否是对的。我们能先知道一些真理，正是因为上帝真理的灵在人心中引导着我们。

一加一等于二|黄小石